Question

不定积分中，有理函数拆项使用待定系数法时，为何答案中某项分母是二次项，分子有的设为A有的确实Ax+B？

Answer 1

因为要变成最完整的真分式：

比如，分母为：ax^2+bx+c (a非零) 分式为真分式，那么分子应为x的一次方：Ax+B。

即：(Ax+B)/(ax^2+bx+c) 使得拆分最合理。

如果分子的x方次等于或大于2次，那么就先分出整式，再按Ax+B处理。

将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。

扩展资料：

在实数范围内，无限不循环的小数叫做无理数，一般通过开平方得到。在二次函数里面，如 y=a*x^2+b*x+c，如果△≥0，那么 y=0 有实数解；如果△<0，那么 y=0 没有实数解，但有虚数解。

使用待定系数法解题的一般步骤是：

（1）确定所求问题含待定系数的一般解析式；

（2）根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程；

（3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。

常数函数如f（x）=π是一个有理函数，因为常数是多项式。请注意，函数本身是理性的，即使f（x）的值对于所有x都是不合理的。

当Q（x）=1时，每个多项式函数f(x)=π是有理函数。不能以这种形式写入的函数，如f（x）= \sin（x）形容词“不合理”通常不用于功能。

参考资料来源：百度百科——待定系数法

参考资料来源：百度百科——有理函数

Answer 2

因为拆项时使用待定系数法，以分母中的一次项和无实数根的二次项，为因式分解分母，然后待定系数法求出对应的分子即可。

通过选择设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用两个多项式恒等式同类项系数相等的原理或其他已知条件确定这些系数，从而得到待求的值。

实数根的二次项的积分方式

1、如果分子也为二次项（甚至更高），使用多项式长除法。从分子中分解出一个多项式，分别积分。

2、如果分子为一次项，把分子分解成 分母的导数+常数的形式。第一部分用凑微分处理，第二部分化成arctan的形式处理。

Answer 3

因为要变成最完整的真分式：

比如，分母为：ax^2+bx+c (a非零) 分式为真分式，那么分子应为x的一次方：Ax+B。

即：(Ax+B)/(ax^2+bx+c) 使得拆分最合理。

如果分子的x方次等于或大于2次，那么就先分出整式，再按Ax+B处理。

解释

根据牛顿-莱布尼茨公式，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。这里要注意不定积分与定积分之间的关系：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。

Answer 4

因为要变成最完整的真分式：
比如，分母为：ax^2+bx+c (a非零) 分式为真分式，
那么分子应为x的一次方：Ax+B
即：(Ax+B)/(ax^2+bx+c) 使得拆分最合理。
如果分子的x方次等于或大于2次，那么就先
分出整式，再按Ax+B处理。

追问

你好，其实我重点是想问为什么有时候分子直接设一个A/二次项就可以了呢？这中间有什么技巧可以提前看出来吗？

追答

这和你遇到的具体题目有关：
比如： 1/(X^3-X^2+X-1)=1/(X^2+1)(X-1) = (AX+B)/(X^2+1) + C/(X-1) （1）
要记住：要化成有理分式还得是真分式！把(1)式通分，对比系数就可
解出：A,B,C.没有太多的技巧，做多了熟中生巧，但要记住：
有理分式和真分式。

追问

比如这个为啥能一步到位，省好多参数

追答

分母是x的四次方：x^4
分子x^3 已是真分数。
按照你的设法，还能解出A,B,C来，那你就是高手！
让我设，只能是：A/(X+2) + (BX+C)/(X+2)^2 +(DX+E)/(X^2+X+1) 通分后、对比系数。
我们都自己试试吧。

追问

解确实能解，有些真有理式拆项确实不含x，我还以为解题中间有一些技巧能看出来呢。谢谢你的回答。

追答

你说的完全正确，就是一眼看到底，有点难。