Question

已知集合A={x|x²-4mx+2m+6=0，x∈R}，B={x|x＜0，x∈R},若A∩B≠空集，求实数m的取值范围。

为什么答案中说若A∩B＝空集，则方程x²-4mx+2m+6=0的两根x1、x2均为非负，则：x1＋x2=4m≥0，x1x2=2m＋6≥0。

Answer 1

已知集合A={x|x²-4mx+2m+6=0，x∈R}，B={x|x＜0，x∈R},若A∩B≠空集，求实数m的取值范围。
解析：∵A={x|x²-4mx+2m+6=0，x∈R}，B={x|x＜0，x∈R}
⊿=16m^2-8m-24>=0==>m<=-1或m>=3/2 (1)
∵A∩B≠空集, B≠空集
∴A≠空集，即x²-4mx+2m+6=0有解，且少有一个负解
由韦达定理知x1x2=2m-6<0==>m<3；x1+x2=4m<0==>m<0
∴m<0 (2)
取(1),(2)的交
∴实数m的取值范围为m<=-1

为什么答案中说若A∩B＝空集，则方程x²-4mx+2m+6=0的两根x1、x2均为非负，则：x1＋x2=4m≥0，x1x2=2m＋6≥0。
∵若A∩B＝空集，则A为空集，即方程x²-4mx+2m+6=0无解
则-1<m<3/2
当A≠空集，即x²-4mx+2m+6=0有解
若两根x1、x2均为非负，则：x1＋x2=4m≥0==>m>=0，x1x2=2m＋6≥0==>m>=-3。
∴m>=0
与m>=3/2取交为m>=3/2
也就是说，此时A虽不为空，但A∩B却为空集，所以，这是不合题意的。

Answer 2

因为当A∩B＝空集时，则A集合里的元素都要≥0，如果＜0的话跟B集合就有交集
接下来的x1＋x2=4m≥0，x1x2=2m＋6≥0则利用了韦达定理，x1x2≥0确保两根同号，然后x1+x2≥0就可以确保两根非负
答案利用求A∩B＝空集时m的取值范围，求出来的取值范围的补集便是A∩B≠空集时m的取值范围了