Question

已知函数f(x)=(1+x)^2-aln(1+x)^2在

已知函数f(x)=(1+x)^2-aln(1+x)^2在(-2,-1)上是增函数，在(-∞,-2)上为减函数。(1)求f(x)的表达式；(2)若当x属于[1/e-1,e-1]时，不等式f(x)＜m恒成立，求实数m的值；(3)是否存在实数b使得关于x的方程f(x)=x^2+x+b在区间[0,2]上恰好有两个相异的实根。若存在，求实数b的取值范围。

Answer 1

(1). 对f(x)求导：，f'(x)=2（1+x）-2a/1+x,，f（X）在(-2,-1)上是增函数，在(-∞,-2）上为减函数，则在x=-2处，f'(x)取得极值，所以f'(-2)=0，带入方程中可得，a=1
（2）.f(x)=(1+x)^2-ln(1+x)^2，求导得f'(x)=2+2x-2/(1+x)，求f'(x)的二阶导函数得f”（x）=2+1/(1+x)^2，因为 f“（x）在[1/e-1,e-1]上恒大于0，所以f'(x)在[1/e-1,e-1]上递增，
f'(x)min=f'(1/e-1)=2/e-1 + 2/e 显然大于0，所以f（X）在[1/e-1,e-1]上递增，f（x）max=e^2-2≤m，
即m≥e^2-2
（3）.由f(x)=x^2+x+b，带入得，(1+x)^2-ln(1+x)^2=x^2+x+b，化简得：x-2ln（1+x）+1-b=0，该方程在[0,2]区间上恰好有两个异根，则f（x）=x-2ln（1+x）+1-b在[0,2]上有单调性，求导f'(x)=1 - 2/1+x≠0，x≠1，所以x分区间 [0,1）和（1,2]，在[0,1）递增，（1,2]上递减，要有两个异根，则f（1）＜0，f（0）>0，f（2）>0，将这三个条件带入得：1-2ln2+1-b＜0，1-b>0，2-2ln3+1-b>0，解得：b>2-2ln2，b＜1，b＜3-2ln3，
所以b的取值范围为 ：（2-2ln2，3-2ln3）

Answer 2

好