Question

求解一道高等代数题，求详解。

设A，B，C为同阶矩阵，且C为非奇异，满足C^（-1）AC=B.求证：C^（-1）A^（m）C＝B^m（m为正整数）

Answer 1

归纳法吧
1. m=1显然成立
2. 假设m时成立，即C^（-1）A^（m）C＝B^m。
所以
C^（-1）A^（m+1）C

=C^（-1）A^（m）*AC
=C^（-1）A^（m）C*C^(-1)AC
=B^m*B
=B^(m+1)
所以
由归纳法知
对一切的m，C^（-1）A^（m）C＝B^m都成立。

Answer 2

解 C为非奇异 则C可逆 C C^（-1）= Ⅰ
C^（-1）AC=B 则CC^（-1）AC =CB 则AC=CB 则 ACC^（-1）=CB C^（-1）
A=CB C^（-1）
C^（-1）A^（m）C= C^（-1）【 CB C^（-1） CB C^（-1） CB C^（-1）】C 【】内有n个
=B^m 把式子中最后项C^（-1）C=Ⅰ 再继续下去 CB C^（-1） CB ……

Answer 3

C^（-1）AC=B

B^m=B*B...B=C^（-1）ACC^（-1）AC...C^（-1）AC=C^（-1）A^（m）C(结合律，CC^（-1）=I)