Question

化下列二次积分为极坐标形式的二次积分（4）∫（下0上1）dx∫(下0上x^2)f(x,y)dy求助

望有较详细过程。。

Answer 1

令x = rcosθ，y = rsinθ

x = 0，x = 1，y = 0，y = x²

交点是(0，0)，(1，1)

θ = 0 到 θ = arctan(1/1) = π/4

rsinθ = r²cos²θ

r = sinθ/cos²θ = secθtanθ

所以

∫(0~1)∫(0~x²) ƒ(x，y) dydx

= ∫(0~π/4)∫(0~secθtanθ) ƒ(rcosθ，rsinθ) rdrdθ 

Answer 2

首先确定积分区域 为图中曲边三角形区域

在确定θ的范围是0->π/4

在从原点出发引一条夹角为θ 得0<=r<=1/cosθ

又因为dxdy=rdrdθ

积分可以改为∫（0->π/4）dθ∫（0->1/cosθ)rdr

Answer 3

x=tcosa,y=tsina,
y=x^2,即：tsina=t^2(cosa)^2,t=sina/(cosa)^2
x=1,即：tcosa=1.t=1/cosa
y=x^2与x=1的交点为（1,1）
∫（0，1）dx∫(0，x^2)f(x,y)dy
=∫(0,π/4)da ∫(sina/(cosa)^2,1/cosa)tf(tcosa,tsina)dt

Answer 4

D:
{0<=y<=x²
{0<=x<=1
等价于
{√y<=x<=1
{0<=y<=1
所以
原式=∫（下0上1）dy∫(下√y上1)f(x,y)dx

Answer 5

∫（0,1）dr ∫ (0,pi/4) r f(rcosa,rsina)da