Question

f(x)=x²+2x。。x∈【a，a+2】，求值域

Answer 1

解：因为f(x)=x²+2x =(x+1)²-1
所以f(x)的对称轴是：x=-1，且开口向上
又x∈【a，a+2】，
所以当a+2<-1,即：a<-3时，f(x)在【a，a+2】上递减的，
f(x) 的最大值是：f(a)=a²+2a, f(x)的最小值是：f(a+2)=(a+2)²+2(a+2)，此时，函数的值域是：【(a+2)²+2(a+2)，a²+2a】；
当a=<1=<a+2,即：-1=<a=<1时，f(x)的最小值是：f(-1)=-1，
而当-1=<a=<1/2时， f(x) 的最大值是：f(a+2)=(a+2)²+2(a+2)，此时，函数的值域是：
【-1，（a+2)²+2(a+2）】；
当1/2=<a=<1时， f(x) 的最大值是：f(a)=a²+2a，此时，函数的值域是：【-1，a²+2a】；
当a>1时，f(x)在【a，a+2】上递增的，
f(x) 的最大值是：f(a+2)=(a+2)²+2(a+2), f(x)的最小值是：f(a)=a²+2a，此时，函数的值域是：【a²+2a，(a+2)²+2(a+2）】。

Answer 2

f(x)=x²+2x
=(x+1)^2-1
对称轴x=-1
若a+2≤1则
最大值为f(a),最小值为f(a+2)

若a<-1<a+2，且，a+a+2<-2则
最大值为f(a),最小值为-1

若a<-1<a+2，且，a+a+2>-2则
最大值为f(a+2),最小值为-1

若a+2≥-1则
最大值为f(a+2),最小值为f(a)

值域就是
[最小值，最大值]

Answer 3

f(x)是以x=-1为对称轴，顶点为（-1,-1）,零点为-2、0的开口向上的抛物线.
当a≥-1时，此时a+2≥1，值域显然为[f(a),f(a+2)],即[a2+2a,a2+6a+8];
当-2<a<-1时，此时0<a+2<1，值域为[f(-1),f(a+2)]，即[-1, a2+6a+8];
当-3<a≤-2时，此时-1<a+2≤0，值域为[f(-1),f(a)]，即[-1, a2+2a];
当a≤-3时, 此时a+2≤-1，值域显然为[f(a+2), f(a)],即[a2+6a+8,a2+2a].

Answer 4

当a≤-3，值域 a^2+6a+8≤y≤a^2+2a;
当-3＜a≤-2， 值域 -1≤y≤a^2+2a;
当-2＜a≤-1， 值域 -1≤y≤a^2+6a+8;
当-1＜a，值域 a^2+2a≤y≤a^2+6a+8