Question

如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，点C在⊙O上，连接BC，CA=CD，BC=BD=6．（1）求证：△ACD ∽ △

如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，点C在⊙O上，连接BC，CA=CD，BC=BD=6．（1）求证：△ACD ∽ △CBD；（2）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵CA=CD，

∴∠A=∠D（等边对等角）．

∵BC=BD=6，

∴∠D=∠BCD（等边对等角），

∴∠A=∠BCD．

又∠D=∠D，

∴△ACD ∽ △CBD；



（2）直线CD与⊙O相切．理由如下：

连接OC．

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），

∴∠ACO⊥∠BCO=90°．

∵OA=OC（⊙O的半径），

∴∠A=∠OCA（等边对等角）．

又∵∠A=∠BCD，

∴∠BCD=∠ACO（等量代换），

∴∠BCD+∠BCO=90°，即∠DCO=90°，

∴OC⊥CD．

又∵OC是⊙O的半径，

∴直线CD与⊙O相切．