Question

已知：如图，抛物线y=ax 2 +bx+c经过A（1，0）、B（5，0）、C（0，5）三点。 （1）求抛物线

已知：如图，抛物线y=ax 2 +bx+c经过A（1，0）、B（5，0）、C（0，5）三点。
（1）求抛物线的函数关系式；（2）若过点C的直线y=kx+b与抛物线相交于点E（4，m），请求出△CBE的面积S的值；（3）在抛物线上求一点P 0 ，使得△ABP 0 为等腰三角形，并写出P 0 点的坐标；（4）除（3）中所求的P 0 点外，在抛物线上是否还存在其它的点P使得△ABP为等腰三角形？若存在，请求出一共有几个满足条件的点P（要求简要说明理由，但不证明）；若不存在这样的点P，请说明理由。

Answer 1

解：（1）∵抛物线经过点 、 ， ∴ 又∵抛物线经过点 ， ∴ ， ∴抛物线的解析式为 。 （2）∵E点在抛物线上， ∴m=4 2 -4×6+5=-3 ∵直线y=kx+b过点C（0，5）、E（4，-3） ∴ 解得k=-2，b=5 设直线y=-2x+5与x轴的交点为D， 当y=0时，-2x+5=0，解得x= ∴D点的坐标为（ ，0） ∴S=S △BDC +S △BDE = =10。 （3）∵抛物线的顶点 既在抛物线的对称轴上又在抛物线上， ∴点 为所求满足条件的点。 （4）除点 外，在抛物线上还存在其它的点P使得△ABP为等腰三角形 理由如下： ∵ ∴分别以 、 为圆心半径长为4画圆，分别与抛物线交于点 、 、 、 、A 、 、 、 除去A、B两个点外，其余6个点为满足条件的点。