Question

已知等差数列{a n }的各项均为正数，a 1 =3，前n项和为S n ，{b n }为等比数列，公比q=2，且a 2 b 2 =20

已知等差数列{a n }的各项均为正数，a 1 =3，前n项和为S n ，{b n }为等比数列，公比q=2，且a 2 b 2 =20，a 3 b 3 =56，（1）求a n 与b n （2）求数列{a n b n }的前n项和T n （3）记C n = ，若C 1 +C 2 +C 3 +…+C n ≥m 2 ﹣ 对任意正整数n恒成立，求实数m 的取值范围．

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Answer 1

（1）a n =2n+1； b n =2 n （2）T n =（2n+1）2 n+1 +2（3）[﹣ ， ]

试题分析：（1）设{a n }的公差为d，根据题意建立关于d与{b n }首项b 1 的方程组，解之可得b 1 =d=2，从而得到a n 与b n 的表达式； （2）由（1）得a n b n =（2n+1）2 n ，利用错位相减法结合等比数列的求和公式，即可算出{a n b n }的前n项和T n 的表达式； （3）根据等差数列的前n项和的表达式，化简得到C n = = = ，从而利用裂项求和的方法求出C 1 +C 2 +C 3 +…+C n =1﹣ ，得到当n=1时它的最小值为 ．因此原不等式恒成立，即 ≥m 2 ﹣ ，解之得﹣ ≤m≤ ，可得实数m的取值范围． 解：（1）设{a n }的公差为d，则 ，解之得b 1 =d=2 ∴数列{a n }的通项为a n =3+2（n﹣1）=2n+1；数列{b n }的通项为b n =2 n （2）由（1）得a n b n =（2n+1）2 n ∴T n =3×2+5×2 2 +7×2 3 +…+（2n+1）2 n 两边都乘以2，得2T n =3×2 2 +5×2 3 +7×2 4 +…+（2n+1）2 n+1 ， 两式相减，得 ﹣T n =6+2（2 2 +2 3 +…+2 n ）﹣（2n+1）2 n+1 ， =6+ ﹣（2n+1）2 n+1 =﹣2+（1﹣2n）2 n+1 ， ∴T n =（2n+1）2 n+1 +2 （3）S n =3n+ ×2=n 2 +2n ∴C n = = = 由此可得C 1 +C 2 +C 3 +…+C n =（1﹣ ）+（ ）+…+（ ）=1﹣ 因此，当n=1时，C 1 +C 2 +C 3 +…+C n 的最小值为 ∵不等式C 1 +C 2 +C 3 +…+C n ≥m 2 ﹣ 对任意正整数n恒成立， ∴ ≥m 2 ﹣ ，解之得﹣ ≤m≤ ，即实数m的取值范围是[﹣ ， ]． 点评：本题给出等差、等比数列，求它们的通项公式并求{a n b n }的前n项和T n 的表达式，讨论与之有关的不等式恒成立的问题．着重考查了等差等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法与裂项求和的方法和不等式恒成立等知识点，属于中档题．