Question

设函数f（x）对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0，f（x）＜0；f（1）=-2．（1）证明f（x

设函数f（x）对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0，f（x）＜0；f（1）=-2．（1）证明f（x）是奇函数；（2）证明f（x）在R上是减函数；（3）求f（x）在区间[-3，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

证明：（1）由f（x+y）=f（x）+f（y）， 得f[x+（-x）]=f（x）+f（-x）， ∴f（x）+f（-x）=f（0）． 又f（0+0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0． 从而有f（x）+f（-x）=0．∴f（-x）=-f（x）． ∴f（x）是奇函数． （2）任取x 1 、x 2 ∈R，且x 1 ＜x 2 ， 则f（x 1 ）-f（x 2 ）=f（x 1 ）-f[x 1 +（x 2 -x 1 ）]=f（x 1 ）-[f（x 1 ）+f（x 2 -x 1 ）]=-f（x 2 -x 1 ）． 由x 1 ＜x 2 ，∴x 2 -x 1 ＞0．∴f（x 2 -x 1 ）＜0． ∴-f（x 2 -x 1 ）＞0，即f（x 1 ）＞f（x 2 ）， 从而f（x）在R上是减函数． （3）由于f（x）在R上是减函数， 故f（x）在[-3，3]上的最大值是f（-3）， 最小值为f（3）．由f（1）=-2， 得f（3）=f（1+2）=f（1）+f（2） =f（1）+f（1+1）=f（1）+f（1）+f（1）=3f（1） =3×（-2）=-6，f（-3）=-f（3）=6． ∴最大值为6，最小值为-6．