Question

已知二项式（5x-1x）n展开式中各项系数之和是各项二项式系数之和的16倍；（1）求n；（2）求展开式中二项

已知二项式（5x-1x）n展开式中各项系数之和是各项二项式系数之和的16倍；（1）求n；（2）求展开式中二项式系数最大的项；（3）求展开式中所有x的有理项．

Answer 1

（1）由已知得：4ⁿ=16?2ⁿ，即 2²ⁿ=2ⁿ⁺⁴，∴2n=n+4，∴n=4．
（2）根据n=4，可得展开式中二项式系数最大的项为第三项，
即T3＝(?1)2

C

2 4

52x＝150x．
（3）根据通项公式为 T_r+1=

C

r 4

?5^4-r?（-1）^r?x4?

3

2

r，
令4-

3

2

r∈z，可得 r=0、2、4，
所以展开式中所有f（x）的有理项为：T₁=625x⁴，T₃=150x，T₅=x^-2．