Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，3Sn+1是6与2Sn的等差中项（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2

已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，3Sn+1是6与2Sn的等差中项（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）是否存在正整数k，使不等式k（-1）nan2＜Sn（n∈N*）恒成立，若存在，求出k的最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）因为3S_n+1是6与2S_n的等差中项，
所以6+2S_n+6S_n-1（n∈N^*），即Sn+1＝

1

3

Sn+1，（n∈N^*）
当n≥2时有Sn＝

1

3

Sn?1+1．
得Sn+1?Sn＝

1

3

(Sn?Sn?1)，即an+1＝

1

3

an对n≥2都成立，
又S2＝

1

3

S1+1，即a1+a2＝

1

3

a1+1，所以a2＝

1

3

＝

1

3

a1，
所以an＝

1

3n?1

．（n∈N^*）．
（2）存在正整数k，使不等式k（-1）ⁿa_n²＜S_n（n∈N^*）恒成立，
等价于k(?1)n(

1

3

)2(n?1)＜

1

2

[3?(

1

3

)n?1]，n∈N^*恒成立，
当n为奇数时，对任意正整数k，不等式恒成立；
当n为偶数时，等价于2k(

1

3

)2(k?1)+(

1

3

)n?1?3＜0恒成立，
令(

1

3

)n?1＝t，0＜t＜

1

3

，则等价于2kt²+t-3＜0恒成立，
因为k为正整数，故只须2k(

1

3

)2+

1

3

?3＜0，解得0＜k＜12，k∈N^*，
所以存在符合要求的正整数k，且其最大值为11．