Question

设A是实数集，满足若a∈A，则11?a∈A，a≠1且1?A．（1）若2∈A，则A中至少还有几个元素？求出这几个元素

设A是实数集，满足若a∈A，则11?a∈A，a≠1且1?A．（1）若2∈A，则A中至少还有几个元素？求出这几个元素．（2）A能否为单元素集合？请说明理由．（3）若a∈A，证明：1-1a∈A．

Answer 1

（1）∵2∈A，
∴

1

1?a

=

1

1?2

=-1∈A；
∴

1

1?a

=

1

1+1

=

1

2

∈A；
∴

1

1?a

=

1

1? 1 2

=2∈A．
因此，A中至少还有两个元素：-1和

1

2

．
（2）用反证法，如果A为单元素集合，则a=

1

1?a

有解，
整理得a²-a+1=0，
由△=1-4=-3＜0，则该方程无实数解，
故在实数范围内，A不可能是单元素集．
（3）证明：a∈A?

1

1?a

∈A?

1

1? 1 1?a

∈A，
而

1

1? 1 1?a

=-

1?a

a

=1-

1

a

，即1-

1

a

∈A．