Question

如图所示，三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧棱垂直于底面，D是AC的中点．（1）求证：B1C∥平面A1BD

如图所示，三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧棱垂直于底面，D是AC的中点．（1）求证：B1C∥平面A1BD；（2）求证：平面BDA1⊥平面ACC1A1．

Answer 1

解：（1）连结AB₁，交A₁B于点E，连结OE
∵四边形AA₁B₁B为平行四边形，
∴E为AB₁的中点，
∵D是AC的中点，可得DE为△AB₁C的中位线，
∴DE∥B₁C，
∵DE?平面A₁BD，B₁C?平面A₁BD，
∴B₁C∥平面A₁BD；
（2）∵△ABC中，AB=BC，AD=DC，∴BD⊥AC，
∵AA₁⊥平面ABC，BD?平面ABC，∴BD⊥AA₁，
∵AC、AA₁是平面ACC₁A₁内的相交直线，
∴BD⊥平面ACC₁A₁，
∵BD?平面A₁BD，
∴平面A₁BD⊥平面ACC₁A₁．