Question

若x>0,y>0,x+y=1则(x+1/x)(y+1/y)的最小值为多少? 写出详细答案

Answer 1

(x+1/x)(y+1/y)=[(x^2+1)/x][(y^2+1)/y]
=(x^2+y^2+x^2*y^2+1)/xy
=x/y+y/x+xy+1/xy (xy+1/xy不能用均值定理）
=x/y+y/x+xy+（x+y)^2/xy
=2(x/y+y/x)+xy+2 (1=x+y≥2√xy),xy≤1/4，)
≥6+xy=6.25

(x+1/x)(y+1/y)=[(x^2+1)/x][(y^2+1)/y]
=(x^2+y^2+x^2*y^2+1)/xy
=[(x+y)^2-2xy+(xy)^2+1]/xy
=[2-2xy+(xy)^2]/xy=2/xy+xy-2.
设t=xy≤[(x+y)/2]^2=1/4.
f(t)=2/t+t在（0，√2）单减，在（√2，+∞）单增。f(t)=2/t+t在t=1/4时取得最小值。

Answer 2

(x+1/x)(y+1/y)=(x^2+y^2+x^2*y^2+1)/(xy) (1)
由(x+y)=1,平方得x^2+2xy+y^2=1代入（1）式得
(x^2*y^2-2xy+2)/(xy),换元t=xy得
y=t+2/t+2 其中t=x(1-x),由二次函数的值域得0<t<=1/4
y=t+2/t+2在(0,根号2）内为减函数，因此t=1/4
原式=6.25

Answer 3

(x+1/x)(y+1/y)=(x+y)(x+1/x)(y+1/y)

Answer 4

将式子乘上两个（x+y）因为x+y=1所以原式不变 然后就得到x^2+y^2+2xy+2+x/y+y/x+2=(x+y)^2+2+x/y+y/x=1+2+x/y+y/x然后式子大于等于3+2=5然后最小值是5