Question

如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=150°，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N，若BM=3，求BC的长

如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=150°，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N，若BM=3，求BC的长．

Answer 1

连接AM，过点A作AO⊥BC于点O．（1分） ∵AB=AC，∴∠B=∠C（等边对等角），又∠BAC=150°， ∴∠B=∠C=15°（2分） ∵MN是AB的垂直平分线， ∴AM=BM=3．（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）（3分） ∴∠MAB=∠B=15°（等边对等角）， ∴∠AMO=∠B+∠MAB=30°．（4分） 又∵AO⊥BC， ∴OA= 1 2 AM= 3 2 （直角三角形中，30°的角所对直角边等于斜边一半）（5分） 在Rt△AOM中，由勾股定理，得MO= A M 2 -O A 2 = 3 2 - ( 3 2 ) 2 = 3 3 2 ．（7分） ∴BO=BM+MO= 3+ 3 3 2 （8分） ∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，而AO⊥BC， ∴BO=OC．（等腰三角形底边上的高、底边上的中线互相重合）（9分） 则BC=2BO= 6+3 3 ．（10分）