Question

已知三棱锥P—ABC中，PC⊥底面ABC，AB=BC， D、F分别为AC、PC的中点，DE⊥AP于E．（1）求证：AP⊥平面BD

已知三棱锥P—ABC中，PC⊥底面ABC，AB=BC， D、F分别为AC、PC的中点，DE⊥AP于E．（1）求证：AP⊥平面BDE； （2）求证：平面BDE⊥平面BDF；（3）若AE∶EP=1∶2，求截面BEF分三棱锥P—ABC所成两部分的体积比．

Answer 1

（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）证明见解析（Ⅲ）两部分体积的比为1∶2或2∶1

(1）∵PC⊥底面ABC，BD 平面ABC，∴PC⊥BD． 由AB=BC，D为AC的中点，得BD⊥AC．又PC∩AC=C，∴BD⊥平面PAC．又PA 平面、PAC，∴BD⊥PA．由已知DE⊥PA，DE∩BD=D，∴AP⊥平面BDE． （2）由BD⊥平面PAC，DE 平面PAC，得BD⊥DE．由D、F分别为AC、PC的中点，得DF//AP． 由已知，DE⊥AP，∴DE⊥DF. BD∩DF=D，∴DE⊥平面BDF． 又 DE 平面BDE，∴平面BDE⊥平面BDF． （3）设点E和点A到平面PBC的距离分别为h 1 和h 2 ．则 h 1 ∶h 2 =EP∶AP=2∶3, 故截面BEF分三棱锥P—ABC所成两部分体积的比为1∶2或2∶1