Question

已知数列{an}是首项a1=1的等差数列，其前n项和为Sn，数列{bn}是首项b1=2的等比数列，且把S2=16，b1b3=b4

已知数列{an}是首项a1=1的等差数列，其前n项和为Sn，数列{bn}是首项b1=2的等比数列，且把S2=16，b1b3=b4．（1）求数列{an}和数列{bn}的通项公式．（2）令c1=1，c2k=a2k-1，c2k+1=a2k+kbk，其中k=1，2，3，…，求数列{cn}的前2n+1项和T2n+1．

Answer 1

（1）设数列{a_n}的公差为d，数列{b_n}的公比为q，
则a_n=1+（n-1）d，bn＝2qn?1，
由b₁b₃=b₄，得q=

b4

b3

=b₁=2，
∴a_n=2n-1，bn＝2n．
（2）T_2n+1=c₁+a₁+（a₂+b₁）+a₃+（a₄+2?b₂）+…+a_2n-1+（a_2n+nb_n）
=1+S_2n+（b₁+2b₂+…+nb_n），
令A=b₁+2b₂+…+nb_n，
则A=2+2?2²+…+n?2ⁿ，
2A=2²+2?2³+…+（n-1）?2ⁿ+n?2ⁿ⁺¹，
∴-A=2+2²+…+2ⁿ-n?2ⁿ⁺¹，
∴A＝?

2(1?2n)

1?2

+n?2n+1?2n+1+2，
∵S2n＝

2n(1+a2n)

2

=4n²，
∴T2n+1＝1+4n2+n?2n+1?2n+1+2
=3+4n²+（n-1）?2ⁿ⁺¹．