Question

（2014?湖北二模）如图，在0≤x≤3a区域内存在与xy平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B．在t=0时刻

（2014?湖北二模）如图，在0≤x≤3a区域内存在与xy平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B．在t=0时刻，一位于坐标原点的粒子源在xy平面内发射出大量同种带电粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向与y轴正方向的夹角分布在0～180°范围内．已知沿y轴正方向发射的粒子在t=t0时刻刚好从磁场边界上P（3a，a）点离开磁场．求：（1）粒子在磁场中做圆周运动的半径R及粒子的比荷；（2）此时刻仍在磁场中的粒子的初速度方向与y轴正方向夹角的取值范围；（3）从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间．

Answer 1

解：（1）初速度与y轴方向平行的粒子在磁场中的运动轨迹如图1中的弧OP所示，其圆心为C．由几何关系可知，∠POC=30°；△OCP为等腰三角形
故∠OCP=

2π

3

   ①
此粒子飞出磁场所用的时间为
t₀=

T

3

②
式中T为粒子做圆周运动的周期．
设粒子运动速度的大小为v，半径为R，由几何关系可得
R=

2 3

3

a   ③
由洛仑兹力公式和牛顿第二定律有
qvB=m

v2

R

  ④
T=

2πR

v

   ⑤
联立②③④⑤解得

q

m

＝

2π

3Bt0

⑥
（2）仍在磁场中的粒子其圆心角一定大于120°，这样粒子角度最小时从磁场右边界穿出；角度最大时从磁场左边界穿出．依题意，同一时刻仍在磁场内的粒子到O点距离相同．在t₀时刻仍在磁场中的粒子应位于以O点为圆心、OP为半径的弧

MN

上．如图所示．
设此时位于P、M、N三点的粒子的初速度分别为v_P、v_M、v_N．由对称性可知v_P与OP、v_M与OM、v_N与ON的夹角均为

π

3

．
设v_M、v_N与y轴正向的夹角分别为θ_M、θ_N，由几何关系有θM＝

π

3

⑦θN＝

2π

3

⑧
对于所有此时仍在磁场中的粒子，其初速度与y轴正方向所成的夹角θ应满足

π

3

≤θ≤

2π

3

（3）在磁场中飞行时间最长的粒子的运动轨迹应与磁场右边界相切，其轨迹如图2所示．由几何关系可知：
OM=OP
由对称性可知
ME=OP
由图可知，圆的圆心角为240°，从粒子发射到全部粒子飞出磁场所用的时间2t₀；