Question

四边形OABC为正方形，以点O为坐标原点，OC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图1，

四边形OABC为正方形，以点O为坐标原点，OC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图1，已知四边形OABC周长为32．（1）求A、B、C三点坐标；（2）一条与y轴重合的直线m，从y轴出发，以每秒1个单位长度的速度向右平移，平移至与直线BC重合时停止平移，设移动时间为t秒，在平移过程中，设直线m与线段OC交于点D，与线段AB交于点E，当长方形DOAE的面积等于长方形BCDE面积的3倍时，（如图2），求t值；（3）在（2）的条件下，设M是直线m上一点，连接AM、BM．若AM⊥BM，求∠OAM+∠CBM的度数．

Answer 1

解：（1）∵正方形OABC的周长为32，
∴OA=AB=BC=CO=8，
∴A（0，8），B（8，8），C（8，0）；

（2）∵S_{四边形DOAE}=OD?AO=8t，S_{四边形BCDE}=8（8-t），S_{四边形DOAE}=3S_{四边形BCDE}，
∴8t=3×8（8-t），
解得t=6；

（3）①当点M在线段DE上时，如图1
∵OA∥DE，
∴∠OAM=∠AME，
∵BC∥DE，
∴∠CBM=∠BME，
∵AM⊥BM，
∴∠AMB=90°，
∴∠AME+∠BME=90°，
∴∠OAM+∠CBM=90°；
②当点M在DE的延长线上时，如图2，
∵OA∥DE，
∴∠OAM+∠AME=180°，
∵BC∥DM，
∴∠CBM+∠BMD=180°，
∴∠OAM+∠AMD+∠CBM+∠BMD=360°，
∴∠OAM+∠AMB+∠CBM=360°，
∵AM⊥BM，
∴∠AMB=90°，
∴∠OAM+∠CBM=270°．