Question

已知，如图，△ABC中，∠C=60°，AD、BE是△ABC的角平分线，且交于点O，求证：AB=AE+BD

已知，如图，△ABC中，∠C=60°，AD、BE是△ABC的角平分线，且交于点O，求证：AB=AE+BD．

Answer 1

解答：证明：在AB上取点M使AM=AE，连接OM
∵∠C=60°，AD、BE是△ABC的角平分线，
∴∠MBO=

1

2

∠ABC，∠BAO=

1

2

∠BAC，
∴∠BAO+∠MBO=

1

2

（∠ABC+∠BAC）=

1

2

（180°-∠C）=60°，
∴∠AOB=120°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠OAM=∠OAE，
∵

AO是公共边 ∠OAM＝∠OAE AM＝AE

，
∴△AMO≌△AEO，
∴∠AOM=∠AOE=180°-∠AOB=60°，
∴∠BOM=180°-（∠AOM+∠AOE）=60°，∠BOD=∠AOE=60°，
∴∠BOM=∠BOD，
∵BE是∠ABC的角平分线，
∴∠MBO=∠DBO，
∵BO是公共边，∠MBO=∠DBO，∠BOD=∠BOM=60°
∴△BOM≌△BOD，
∴BM=BD，
∴AB=AM+BM=AE+BD．