Question

（2013?闸北区三模）已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，点A（a，4）为抛物线C上的定点，点P为抛物线

（2013?闸北区三模）已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，点A（a，4）为抛物线C上的定点，点P为抛物线C上的动点．且△FOA的外接圆圆心到准线的距离为32．（1）求抛物线C的方程；（2）过P作圆x2+（y-1）2=14的两条切线分别交该圆于点M，N，求四边形PMFN面积的最小值及此时P点坐标．（3）设点T（0，t），且对抛物线C上的任意动点P，∠TPF总为锐角，求实数t的取值范围．

Answer 1

（1）△FOA的外接圆的圆心在线段OF的中垂线y＝

p

4

上，则圆心的纵坐标为

p

4

故到准线的距离为

p

2

+

p

4

＝

3

2

从而p=2…（2分）
即抛物线C的方程为：x²=4y．…（4分）
（2）设P（x₀，y₀），则
∵圆心坐标（0，1）是抛物线C的焦点F
∴|PF|=y₀+1…（6分）
SPMFN＝2S△PMF＝2?

1

2

?|PM|?|MF|＝

1

2

|PM|＝

1

2

|PF|2? 1 4

=

1

2

(y0+1)2? 1 4

  (y0≥0)…（8分）
∴当y₀=0时，四边形PMFN面积的最小值为

3

4

，此时点P（0，0）．…（10分）
（3）（理）根据题意：∠TPF为锐角?

PT

?

PF

＞0且t≠

p

2

∵

PT

=（-x₀，t-y₀），

PF

=（-x₀，1-y₀），
∴

PT

?

PF

=y₀²-（t-3）y₀+t…（11分）
记：f（y₀）=y₀²-（t-3）y₀+t在y₀∈[0，+∞）上恒成立
又f（y₀）=（y₀-

t?3

2

）²-

t2?10t+9

4

．
当

t?3

2

≥0时，即：t∈[3，+∞）
当y₀=

t?3

2

时，f（y₀）_min=-

t2?10t+9

4

＞0解得：1＜t＜9，
∴t∈[3，9]；
当

t?3

2

＜0时，即：t∈（-∞，3）当y₀=0时，f（y₀）_min=t＞0，
∴t∈（0，3）…（15分）
综合得：t∈（0，1）∪（1，9）（16分）