Question

已知函数f（x）=|x-2|（1）解不等式xf（x）+3＞0；（2）对于任意的x∈（-3，3），不等式f（x）＜m-|x|恒

已知函数f（x）=|x-2|（1）解不等式xf（x）+3＞0；（2）对于任意的x∈（-3，3），不等式f（x）＜m-|x|恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

（1）∵f（x）=|x-2|，
∴xf（x）+3＞0?x|x-2|+3＞0?

x?2≤0 x(2?x)+3＞0

①或

x?2＞0 x(x?2)+3＞0

②，
解①得：-1＜x≤2，
解②得x＞2，
∴不等式xf（x）+3＞0的解集为：（-1，+∞）；
（2）f（x）＜m-|x|?f（x）+|x|＜m，即|x-2|+|x|＜m，
设g（x）=|x-2|+|x|（-3＜x＜3），
则g(x)＝

2?2x      ?3＜x≤0 2               0＜x≤2 2x?2        2＜x＜3

，
g（x）在（-3，0]上单调递减，2≤g（x）＜8；
g（x）在（2，3）上单调递增，2＜g（x）＜4
∴在（-3，3）上有2≤g（x）＜8，
故m≥8时不等式f（x）＜m-|x|在（-3，3）上恒成立．