Question

高一数学题，急啊，拜托了！谢谢！！！最好有步骤！！！

Answer 1

先求得定义域为(-1，1)。
（1）变形，得 f(x)=1/(x+2) +lg[ -1 +2/(x+1)]
由于 y=-1+ 2/(x+1)在(-1，1)上是减函数，而y=lgx是增函数，
根据复合函数“同增异减”法则，y=lg[-1 +2/(x+1)]是减函数，
于是f(x)在定义域(-1，1)内是减函数。
也可以用定义法证明:
令-1<x1<x2<1
f(x2)-f(x1)
=1/(x2+2) +lg[(1-x2)/(1+x2)] -1/(x1+2) -lg[(1-x1)/(1+x1)]
=[(x1+2)-(x2+2)]/[(x1+2)(x2+2)] +lg[(1-x2)(1+x1)/(1-x1)(1+x2)]
=(x1-x2)/[(x1+2)(x2+2)]+lg[(1-x2)(1+x1)/(1-x1)(1+x2)]
x1<x2 x1-x2<0 又x1+2>0，x2+2>0，因此(x1-x2)/[(x1+2)(x2+2)]<0
0<x1<x2<1 0<1-x2<1-x1 0<1+x1<1+x2
0<(1-x2)/(1+x1)/[(1-x1)(1+x2)]<1
lg[(1-x2)(1+x1)/(1-x1)(1+x2)]<0
(x1-x2)/[(x1+2)(x2+2)]+lg[(1-x2)(1+x1)/(1-x1)(1+x2)]<0
f(x2)-f(x1)<0
f(x2)<f(x1)
函数f(x)在(-1，1)上单调递减。

(2)因为 f(0)=1/2，从而原不等式可化不
f[x(x-1/2)]<f(0)
又f(x)在(-1，1)上是减的，从而有
0<x(x-1/2)<1,
解得 (1-√17)/4<x<0或 1/2<x<(1+√17)/4