Question

已知前n项和为Sn的等差数列{an}的公差不为0,且a2=3,又a4,a5,a8成等比数列

是否存在正整数对（n,k),使得nan=kSn?若存在，求出所有的正整数对。 弱弱的问一句，正整数对里的n和通项公式里的n一样吗？

Answer 1

解：
a4、a5、a8成等比数列， a5²=a4×a8
(a2+3d)²=(a2+2d)(a2+6d)
a2=3带入
(3+3d)²=(3+2d)(3+6d)
整理，得
d²+2d=0
d(d+2)=0
d=0(与已知矛盾，舍去)或d=-2
a1=a2-d=3-(-2)=5
nan=kSn
n[a1+(n-1)d]=k[na1+n(n-1)d/2]
a1=5 d=-2代入
n[5+(-2)(n-1)]=k[5n+(-2)n(n-1)/2]
整理，得
(7-2n)=k(6-n)
k=(7-2n)/(6-n)
k>0 (7-2n)/(6-n)>0 (2n-7)/(n-6)>0 n>6或n<3.5
k=(7-2n)/(6-n)=(12-2n-5)/(6-n)=2 -5/(6-n)
要k为整数，只有5/(6-n)为整数，n可以为5(<6且>3.5，舍去)、1。
n=1 k=(7-2)/(6-1)=1
满足题意的正整数对只有一对：(1，1)。

Answer 2

首先，正整数对里的n和通项公式里的n是一样的。
∵a4,a5,a8成等比数列，∴a5/a4=a8/a5,
∴(a5-a4)/a4=(a8-a5)/a5
即d/(3+2d)=3d/(3+3d)=d/(1+d).
∵d≠0,∴3+2d＝1+d,d=-2
∴an=5-2(n-1)=7-2n.sn=n(6-n)
要使nan=kSn，即n(7-2n)=kn(6-n),
k=(7-2n)/(6-n)=2-5/(6-n),
∴6-n是5的因数，6-n=1或5,n=5,k=-3, 或n=1,k=1
∵n>0,k>0,∴正整数对（n,k)=(5,2)
注：比例式运用分比定理常可简化运算
解答过程比较详细，请自己再验算一下啊