Question

如果2^8+2^12+2^n为完全平方数,求正整数n

初二数学，过程详细一点

Answer 1

设2^n为首项的平方，则末项为2^6，中间为乘积两倍为2^8=2*2^7，
∴首项为2，首项平方为2^n，∴n=2；

设2^n为末项的平方，则首项为2^4，乘积两倍为2^12=2*2^4*2^7
∴末项为2^7，首项平方为2^14，∴n=14；

设2^n为中间项，则2^n=2*2^4*2^6=2^11，∴n=11

追问

乘积的两倍是什么意思，谢谢

追答

就是首项和末项乘积的两倍，比如：
(a+b)²=a²+2ab+b²
a²是首平方，b²是末平方，2ab是首末乘积两倍。（老师应该讲过这个口诀吧）

Answer 2

假如n≥8
2^8+2^12+2^n=2^8*[1+2^4+2^(n-8)]=2^8*[17+2^(n-8)]
分析17+2^(n-8)是否完全平方数，n=11，13，14
假如n<8，分析n=0，2，4
n=0，2^8+2^12+2^0=1+2^8+2^12，不是平方数
n=2，2^8+2^12+2^2=2^2*(1+2^6+2^10)=2^2*33^2，成立
n=4，2^8+2^12+2^4=2^4*(1+2^4+2^8)，不是平方数
所以满足题目要求的是n=2,11,13,14
（可能答案不全，方法也不好，希望高人指点）

追问

为什么要取8这个中间值呢？PS：您的方法我在做其他类似的题目看到过，也挺好的，不过就是麻烦了点，但实在不好意思，我满意答案已经选给别人了

追答

不要紧，那个答案至少少了n=13
是不是还有其它答案就不知道了

追问

恩恩，但是他为什么会少呢？哪里漏分析了？还有为什么要取8这个中间值，谢谢

追答

我是为了提取公因子方便，n>8就可以提取2^8

追问

哦，我看到过类似的2^n+256,也是提取8的,但我也不知到底是为什么,是不是因为16^2=256

追答

这个问题我答不出来了，因为现在这个解法是我自己想的
看了楼主给的其它连接，确定n=2,11,13,14是全解了

Answer 3

14

Answer 4

11或者是14

追问

过程能详细点吗，谢谢

追答

这个要分类讨论，每一个都有可能是首项，有3个情况，我少分析了一项，结果是2,11,14