Question

用数学归纳法证明1-2^2+3^2-4^2+...+(-1)^(n-1)*n^2=(-1)^(n-1)*n(n-1)/2

过程

Answer 1

应该是(-1)^(n-1)*n*(n+1)/2吧
先证明一项和成立
1=(-1)^0*1(1+1)/2=1
假设对于n项和成立
1-2^2+3^2-4^2+...+(-1)^(n-1)*n^2=(-1)^(n-1)*n*(n+1)/2

n+1项和
1-2^2+3^2-4^2+...+(-1)^(n-1)*n^2+(-1)^(n)*(n+1)^2
=(-1)^(n-1)*n*(n+1)/2+(-1)^(n)*(n+1)^2

=(-1)^(n)*(n+1)^2-(-1)^(n)*n*(n+1)/2
=(-1)^(n)*[(n+1)^2-n*(n+1)/2]
=(-1)^(n)*[(n+1)(n+1-n/2)]
=(-1)^(n)*(n+1)(n+2)/2

该等式对于n+1项和也成立，由数学归纳法证得1-2^2+3^2-4^2+...+(-1)^(n-1)*n^2=(-1)^(n-1)*n*(n+1)/2对于所有的正整数n成立

追问

为什么n+1项时左边要加+(-1)^(n)*(n+1)^2
这个没有搞清楚

追答

你的每一项都是(-1)^(x-1)*x^2这样的形式的对吧，这里你将x看作变量，x=1时是(-1)^0*1(1+1)/2=1，x=n时是(-1)^(n-1)*n^2，x=n+1时是(-1)^(n)*(n+1)^2。
左边是求和，前n+1项和当然就是前n项和加上第n+1项啊。
前n项和已经假设是(-1)^(n-1)*n*(n+1)/2。

Answer 2

lz题目好像有错啊

追问

哪里错了啊？

追答

当n=1、2的时候，等式左右两边都不成立啊