Question

高数第十题（2010考研）设fx在0到1上连续……（图）

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Answer 1

f(x)在[0,1]上连续，在（0，1）内可导，f(0)=0,f(1)=1/3.
则，g(x) = f(x) - x^3/3在[0，1]上连续，在（0，1）内可导。g(0)=g(1)=0.
g'(x) = f'(x) - x^2.

分别在[0，1/2]和[1/2，1]上应用拉格朗日中值定理，存在a,b, 0<a<1/2<b<1,使得
[g(1/2)-g(0)]/(1/2) = g'(a),
[g(1)-g(1/2)]/(1/2) = g'(b).
成立。

g'(a)+g'(b) = f'(a) + f'(b) - a^2 - b^2 = [g(1)-g(0)]/(1/2) = 0,
f'(a) + f'(b) = a^2 + b^2.

命题得证。