Question

已知函数f(x)=2x³+(m-x)³ (m∈N+).

(1)若x₁，x₂∈(0，m)，证明：f(x₁)+f(x₂)≥2f[(x₁+x₂)／2]；
(2)对于任意的a,b,c∈[m／2，2m／3]，问以f(a)，f(b)，f(c)的值为边长的三条线段是否可构成三角形？并说明理由.

（急求解答啊，本人财富值没有了没有悬赏，对不起了）

Answer 1

（1）令g(x）=f（x1)/2+f(x)/2-f(x1+x/2) g'(x)=1/2[6x^2-6((x1+x)/2)^2-3(m-x)^2+3(m-(x1+x2)/2)^2]
(f(x1)/2是常数，导完后得0，注意乘内导） m>x>x1,x-(x1+x)/2>0,m-(x1+x)/2-(m-x)>0,so g'(x)>0同理0<x<x1,g'(x)<0,so g(x)在（x1,m)单调递增，在（0，x1)单调递减。g(x1)=0,so 0<x<m,g(x）>=0,因为0<x2<m,so g(x2)>=0,即f(x1)+f(x2)>=2f[(x1+x2)/2]
(2)因为f'(x)=6x^2-3(m-x)^2=3[(x+m)^2]-6m^2,m/2<x<2m/3,so f'(x)>0,f(x)在（m/2,2m/3)单调递增。so f(a)+f(b)-f(c)>=2f((a+b)/2)-f(c)>=2f(m/2)-f(2m/3)>0(f(m/2)为最小值，f(2m/3)为最大值，减最大值就是最小了）so f(a)+f(b)>f(c).同理可证f(a)+f(c)>f(b),f(b)+f(c)>f(a)

Answer 2

先由f(x)'=6x^2+3(m-x)^2>0知函数是凹函数，由凹函数性质（书本上有详细证明）知
[f(x₁)+f(x₂)]/2≥f[(x₁+x₂)／2]得证

，第二问有点难，需要证明任意两个值大于第三个就行了，要用第一问结论

追问

我们没学凹函数啊，我现在高二升高三，是安徽淮南的，用的人教版教材，上面没有关于凹函数的知识啊