Question

已知函数f（x）=log a 2+x 2-x （a＞0，a≠1）．（1）求f（x）的定义域；（2）判断函数的奇

已知函数f（x）=log a 2+x 2-x （a＞0，a≠1）．（1）求f（x）的定义域；（2）判断函数的奇偶性，并加以证明；（3）当0＜a＜1时，求使f（x）＞0成立时x的取值范围．

Answer 1

（1）由 2+x 2-x ＞0 得  （2+x）（2-x）＞0，则  （x+2）（x-2）＜0， 解得-2＜x＜2．…（2分） 即定义域为（-2，2）．…（3分） （2）函数 f(x)=lo g a 2+x 2-x 是奇函数．…（4分） 证明如下：任意取x∈（-2，2）， 则  f(x)=lo g a 2+x 2-x ， f(-x)=lo g a 2-x 2+x ，…（5分） 又  f(-x)=lo g a 2-x 2+x =lo g a ( 2+x 2-x ) -1 =-lo g a 2+x 2-x =-f（x）， 因此函数 f(x)=lo g a 2+x 2-x 是奇函数．…（8分） （3）因为 lo g a 2+x 2-x ＞0 ，且  0＜a＜1，所以， 0＜ 2+x 2-x ＜1 ，…（10分） 由 2+x 2-x ＞0 ，解得-2＜x＜2；由 2+x 2-x ＜1 ，解得 x＜0或x＞2． 综合可得-2＜x＜0． 因此，当0＜a＜1时，求使f（x）＞0成立时x的取值范围为（-2，0）．…（14分）