Question

已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC(或它们的延长线)于点M，N

已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC(或它们的延长线)于点M，N．当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时(如图1)，易证BM+DN=MN． (1)当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时(如图2)，线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系?写出猜想，并加以证明．(2)当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想．

Answer 1

(1)BM+DN=MN成立．(2)DN-BM=MN.

试题分析：解：(1)BM+DN=MN成立． 如下图，在MB的延长线上，截得BE=DN，连接AE 易证：△ABE≌△ADN ∴AE=AN． ∴∠EAB=∠NMD． ∴∠BAD=90°,∠NAM=45° ∴∠BAM+∠NMD=45°． ∴∠EAB+∠BAM=45°． ∴∠EAM=∠NAM   又AM为公共边， ∴△AEM≌△ANM ∴ME=MN. ∴ME=BE+BM=DN+BM. ∴DN+BM=MN. (2) DN-BM=MN． 理由如下： 如图，在DC上截取DF=BM，连接AF． ∵AB=AD，∠ABM=∠ADF=90°， ∴△ABM≌△ADF （SAS） ∴AM=AF，∠MAB=∠FAD． ∴∠MAB+∠BAF=∠FAD+∠BAF=90°， 即∠MAF=∠BAD=90°． 又∠MAN=45°， ∴∠NAF=∠MAN=45°． ∵AN=AN， ∴△MAN≌△FAN． ∴MN=FN， 即 MN=DN-DF=DN-BM； 点评：本题难度骄傲大，主要考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，运用截长补短法构造全等三角形是关键．也可运用图形的旋转性质构造全等三角形．