Question

（2014?东城区二模）已知：关于x的一元二次方程mx2+（m-3）x-3=0．（1）求证：无论m取何值，此方程总有两

（2014?东城区二模）已知：关于x的一元二次方程mx2+（m-3）x-3=0．（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个实数根；（2）设抛物线y=mx2+（m-3）x-3，证明：此函数图象一定过x轴，y轴上的两个定点（设x轴上的定点为点A，y轴上的定点为点C）；（3）设此函数的图象与x轴的另一交点为B，当△ABC为锐角三角形时，求m的取值范围．

Answer 1

（1）△=（m-3）²+12m=（m+3）²
∵（m+3）²≥0
∴无论m取何值，此方程总有两个实数根．

（2）由公式法：x1，2＝

3?m± (m?3)2+12m

2m

＝

3?m±(m+3)

2m

∴x₁=-1，x₂=

3

m

，
∴此函数图象一定过x轴，y轴上的两个定点，分别为A（-1，0），C（0，-3）．

（3）由（2）可知抛物线开口向上，且过点A（-1，0），C（0，-3）和B（

3

m

，0）．
观察图象，当m＜0时，△ABC为钝角三角形，不符合题意．
当m＞0时，可知若∠ACB=90°时，
可证△AOC∽△COB．
∴

AO

CO

＝

CO

BO

．
∴|OC|²=|OA|?|OB|．
∴3²=1×|OB|．
∴OB=9．即B（9，0）．
∴当0＜

3

m

＜9时，△ABC为锐角三角形．
即当m＞

1

3

时，△ABC为锐角三角形．