Question

已知数列{an}的通项公式an＝n2+λn+2，若数列{an}为单调递增数列，则实数λ的取值范围是______

已知数列{an}的通项公式an＝n2+λn+2，若数列{an}为单调递增数列，则实数λ的取值范围是______．

Answer 1

解解：方法一：
∵a_n=n²+λn+2，
∴a_n+1=（n+1）²+λ（n+1）+2，
∵数列{a_n}为单调递增数列，
∴a_n+1-a_n=2n+λ+1＞0（n∈N^*）恒成立，
∴λ＞-2n-1（n∈N^*）恒成立，
令f（n）=-2n-1（n∈N^*），
则λ＞f（x）_max=-2×1-1=-3
∴λ＞-3．
∴实数λ的取值范围是（-3，+∞）．
方法二：
∵a_n=n²+λn+2，
故a_n是n的二次函数，
又数列{a_n}为单调递增数列，
∴对称轴n=-

λ

2

＜

1+2

2

=

3

2

，如图：
∴λ＞-3．
故答案为：（-3，+∞）．