Question

已知椭圆 x 2 2 + y 2 =1 ．（1）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（2）过A（2，1）

已知椭圆 x 2 2 + y 2 =1 ．（1）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（2）过A（2，1）的直线l与椭圆相交，求l被截得的弦的中点轨迹方程；（3）过点P（ 1 2 ， 1 2 ）且被P点平分的弦所在的直线方程．

Answer 1

（1）设弦的两端点分别为M（x 1 ，y 1 ），N（x 2 ，y 2 ） 的中点为R（x，y）， 则 x 1 2 +2 y 1 2 =2 ， x 2 2 +2 y 2 2 =2 ， 两式相减并整理可得 x 1 - x 2 y 1 - y 2 = 2( y 1 + y 2 ) x 1 + x 2 =- x 2y ，① 将 y 1 - y 2 x 1 - x 2 =2 代入式①，得所求的轨迹方程为x+4y=0（椭圆内部分）． （2）可设直线方程为y-1=k（x-2）（k≠0，否则与椭圆相切）， 设两交点分别为（x 3 ，y 3 ），（x 4 ，y 4 ）， 则 x 3   2 2 + y 3 2 =1 ， x 4 2 2 + y 4 2 =1 ，两式相减得 ( x 3 + x 4 )( x 3 - x 4 ) 2 + ( y 3  + y 4 )( y 3 - y 4 )=0 ， 显然x 3 ≠x 4 （两点不重合）， 故 x 3 + x 4 2 + ( y 3 + y 4 )( y 3 - y 4 ) x 3 - x 4 =0 ， 令中点坐标为（x，y）， 则x+2y? y 3 - y 4 x 3 - x 4 =0， 又（x，y）在直线上，所以 y-1 x-2 =k ， 显然 y 3 - y 4 x 3 - x 4 =k ， 故x+2y?k=x+2y ? y-1 x-2 =0，即所求轨迹方程为x 2 +2y 2 -2x-2y=0（夹在椭圆内的部分）． （3）设过点P（ 1 2 ， 1 2 ）的直线与 x 2 2 + y 2 =1 交于E（x 5 ，y 5 ），F（x 6 ，y 6 ）， ∵P（ 1 2 ， 1 2 ）是EF的中点， ∴x 5 +x 6 =1，y 5 +y 6 =1， 把E（x 5 ，y 5 ），F（x 6 ，y 6 ）代入与 x 2 2 + y 2 =1 ， 得 x 5 2 + 2 y 5 2 =2 x 6 2 +2 y 6 2 =2 ， ∴（x 5 +x 6 ）（x 5 -x 6 ）+2（y 5 +y 6 ）（y 5 -y 6 ）=0， ∴（x 5 -x 6 ）+2（y 5 -y 6 ）=0， ∴k= y 5 - y 6 x 5 - x 6 =- 1 2 ， ∴过点P（ 1 2 ， 1 2 ）且被P点平分的弦所在的直线方程： y- 1 2 =- 1 2 (x- 1 2 ) ， 即2x+4y-3=0．