Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线与AC，AB的交点分别为D，E．（1）若AD=15，cos∠BDC=45，求

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线与AC，AB的交点分别为D，E．（1）若AD=15，cos∠BDC=45，求AC的长和tanA的值；（2）设∠BDC=α，计算tanα2的值．（用sinα和cosα的式子表示）

Answer 1

（1）∵DE垂直平分AB，
∴DB=DA=15，
在Rt△DCB中，cos∠BDC=

DC

DB

=

4

5

，
∴

DC

15

=

4

5

，
∴DC=12，
∴BC=

BD2?DC2

=9，
在Rt△ACB中，AC=AD+CD=27，
∴tanA=

BC

AC

=

9

27

=

1

3

；
（2）设AD=t，则DB=t，
在Rt△DCB中，
∵cos∠BDC=

DC

DB

，sin∠BDC=

BC

BD

，
∴DC=t?cosα，BC=t?sinα，
在Rt△ACB中，AC=AD+DC=t（sinα+cosα），
∴tanA=

BC

AC

=

t?sinα

t(sinα+cosα)

=

sinα

sinα+cosα

，
∵AD=DB，
∴∠A=∠DBA，
∴∠BDC=∠A+∠DBA=2∠A，
∴∠A=

α

2

，
∴tan

α

2

=

sinα

sinα+cosα

．