如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB的垂直平分线与AC,AB的交点分别为D,E.(1)若AD=15,cos∠BDC=45,求
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB的垂直平分线与AC,AB的交点分别为D,E.(1)若AD=15,cos∠BDC=45,求AC的长和tanA的值;(2)设∠BDC...
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB的垂直平分线与AC,AB的交点分别为D,E.(1)若AD=15,cos∠BDC=45,求AC的长和tanA的值;(2)设∠BDC=α,计算tanα2的值.(用sinα和cosα的式子表示)
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(1)∵DE垂直平分AB,
∴DB=DA=15,
在Rt△DCB中,cos∠BDC=
=
,
∴
=
,
∴DC=12,
∴BC=
=9,
在Rt△ACB中,AC=AD+CD=27,
∴tanA=
=
=
;
(2)设AD=t,则DB=t,
在Rt△DCB中,
∵cos∠BDC=
,sin∠BDC=
,
∴DC=t?cosα,BC=t?sinα,
在Rt△ACB中,AC=AD+DC=t(sinα+cosα),
∴tanA=
=
=
,
∵AD=DB,
∴∠A=∠DBA,
∴∠BDC=∠A+∠DBA=2∠A,
∴∠A=
,
∴tan
=
.
∴DB=DA=15,
在Rt△DCB中,cos∠BDC=
DC |
DB |
4 |
5 |
∴
DC |
15 |
4 |
5 |
∴DC=12,
∴BC=
BD2?DC2 |
在Rt△ACB中,AC=AD+CD=27,
∴tanA=
BC |
AC |
9 |
27 |
1 |
3 |
(2)设AD=t,则DB=t,
在Rt△DCB中,
∵cos∠BDC=
DC |
DB |
BC |
BD |
∴DC=t?cosα,BC=t?sinα,
在Rt△ACB中,AC=AD+DC=t(sinα+cosα),
∴tanA=
BC |
AC |
t?sinα |
t(sinα+cosα) |
sinα |
sinα+cosα |
∵AD=DB,
∴∠A=∠DBA,
∴∠BDC=∠A+∠DBA=2∠A,
∴∠A=
α |
2 |
∴tan
α |
2 |
sinα |
sinα+cosα |
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