Question

如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，点E、F分别在边BC、CD上．（1）若AB=4，试求菱形ABCD的面积；（2）若∠AE

如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，点E、F分别在边BC、CD上．（1）若AB=4，试求菱形ABCD的面积；（2）若∠AEF=60°，求证：AB=CE+CF．

Answer 1

（1）解：在菱形ABCD中，AB=BC，
∵∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵AB=4，
∴等边△ABC底边BC上的高为4×

3

2

=2

3

，
∴菱形ABCD的面积=4×2

3

=8

3

；

（2）证明：如图，将△AEC绕点A顺时针旋转60°得到△AE′B，则△AEE′为等边三角形，
∴∠AE′E=60°，
∵∠AEF=60°，
∴∠CEF=∠AEC-∠AEF=∠AEC-60°，
又∵∠BE′E=∠AE′B-∠AE′E=∠AE′B-60°，
∴∠BE′E=∠CEF，
∵∠B=60°，菱形的对边AB∥CD，
∴∠ECF=180°-60°=120°，
又∵∠E′BE=∠ABC+∠ABE′=∠ABC+∠ACB=60°+60°=120°，
∴∠E′BE=∠ECF，
在△EE′B和△FEC中，

∠BE′E＝∠CEF BE′＝CE ∠E′BE＝∠ECF

，
∴△EE′B≌△FEC（ASA），
∴BE=CF，
∴BC=CE+BE=CE+CF，
∵AB=BC，
∴AB=CE+CF．