Question

已知函数f（x）=13x3+ax2+bx（a，b∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（1）=13，

已知函数f（x）=13x3+ax2+bx（a，b∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（1）=13，且函数f（x）在（0，12）上不存在极值点，求a的取值范围．

Answer 1

（1）当a=1时，f（x）=

1

3

x3+x2+bx，∴f′（x）=x²+2x+b，
①若△=4-4b≤0，即b≥1 时，f′（x）=x²+2x+b≥0
所以f（x）为 R上的增函数，所以f（x）的增区间为（-∞，+∞）；
②若△=4-4b＞0，即b＜1时，f'（x）=(x+1+

1?b

)(x+1?

1?b

)，
由f′（x）＞0得x＜?1?

1?b

，或x＞?1+

1?b

所以f（x） 在（-∞，?1?

1?b

）与（?1+

1?b

，+∞）上为增函数，
在（?1?

1?b

，?1+

1?b

） 上为减函数．   
所以f（x）的增区间为（-∞，?1?

1?b

）与（?1+

1?b

，+∞）；减区间为（?1?

1?b

，?1+

1?b

）上．
（2）由f(1)＝

1

3

，得b=-a，
即f（x）=

1

3

x3+ax2?ax，∴f′（x）=x²+2ax-a．
令f′（x）=0得x²+2ax-a=0，∴（1-2x）a=x²，
∵0＜x＜

1

2

，∴1-2x≠0，∴a＝

x2

1?2x

，
令t=1-2x，则t∈（0，1），∴a＝

x2

1?2x

=

1

4

(t+

1

t

?2)，
∵h(t)＝t+

1

t

?2在t∈（0，1）上单调递减，故h（t）∈（0，+∞），
∴

1

4

(t+

1

t

?2)∈（0，+∞），∴a∈（0，+∞），
函数f（x）在（0，

1

2

）上不存在极值点，∴a＝

x2

1?2x

在（0，

1

2

）上无解，
∴a∈（-∞，0]
综上，a的取值范围为（-∞，0]．