Question

抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=60°，过点AB的中点M作抛

抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=60°，过点AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N．则|MN||AB|的最大值为______．

Answer 1

设|AF|=r₁，|BF|=r₂，分别过A，B，M作准线的垂线，垂足分别是A′，B′，N，则|MN|=

r1+r2

2

，
由余弦定理得|AB|²=r

2 1

+r

2 2

-2r₁r₂cos60°=（r₁+r₂）²-3r₁r₂c≥（r₁+r₂）²-3?

(r1+r2)2

4

≥

1

4

（r₁+r₂）²，
∴（

|MN|

|AB|

）²≤

(r1+r2)2 4

(r1+r2)2 4

=1，
∴

|MN|

|AB|

的最大值为1．
故答案为：1