Question

50分 复变函数与积分变换 第三章 复变函数的积分 图里的题目不懂解，求详解

Answer 1

由于1/(z^-1)=1/(z+1)(z-1)=(1/2)[1/(z-1)-1/(z+1)]，故原积分可拆开为两部分，即积分=(1/2)∮sin(πz/4)dz/(z-1)-(1/2)∮sin(πz/4)dz/(z+1)，这种形式便于使用柯西积分公式∮f(z)dz/(z-z0)=2πif(z0)。第一问中的积分曲线为以z=-1为中心，1/2为半径的圆周，这圆周内包含奇点z=-1，但不包含z=1，即第一个积分中被积函数在积分曲线内部是解析的，因此第一个积分=0，因此原积分=0-(1/2)∮sin(πz/4)dz/(z+1)=-2πi(1/2)sin(-π/4)=(√2/2)πi。第二问同理，这里第二个积分等于0，计算后积分=2πi(1/2)sin(π/4)=(√2/2)πi，第三问中两个奇点都在积分曲线内部，故积分结果等于前两问结果相加=√2πi。