Question

已知数列 an 的前n项和Sn=3-an-1/2^n-2，(n属于正整数）

1,.求证2^nan是等差数列
2.求an的最大值

Answer 1

1.
a1=S1=3-a1-(1/2)^(-1)、a1=1/2

n>=2

an=Sn-S(n-1)=[3-an-(1/2)^(n-2)]-[3-a(n-1)-(1/2)^(n-3)]

2an=a(n-1)+(1/2)^(n-2)

等式两边同乘2^(n-1)得：2^nan=2^(n-1)a(n-1)+2，2a1=1。

所以，数列{2^nan}是首项为1、公差为2的等差数列。

(2)
由(1)可得：2^nan=2n-1、an=(2n-1)(1/2)^n、a(n+1)=(2n+1)(1/2)^(n+1)

a(n+1)/an=(2n+1)/(4n-2)=(1/2)[(4n-2)+4]/(4n-2)=1/2+2/(4n-2)

当n>=2时，a(n+1)/an<1。

而a1=1/2、a2=3/4、a3=5/8

所以，an的最大值为a2=3/4。

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