Question

如图，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC∶CA=4∶3，点P在半圆弧AB上运动（

如图，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC∶CA=4∶3，点P在半圆弧AB上运动（不与A、B重合），过C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点。 （1）求证：AC·CD=PC·BC；（2）当点P运动到AB弧中点时，求CD的长；（3）当点P运动到什么位置时，△PCD的面积最大？并求这个最大面积S。

Answer 1

解：（1）∵AB为直径， ∴∠ACB=90°， 又∵PC⊥CD， ∴∠PCD=90°，而∠CAB=∠CPD， ∴△ABC∽△PCD， ∴ ， ∴AC·CD=PC·BC； （2）当点P运动到AB弧中点时，过点B作BE⊥PC于点E， ∵P是AB中点， ∴∠PCB=45°，CE=BE= BC=2 ， 又∠CAB=∠CPB， ∴tan∠CPB=tan∠CAB= ， ∴PE= ， 而PC=PE+EC= ， 由（1）得CD= PC= ； （3）当点P在AB上运动时，S △PCD = PC·CD， 由（1）可知，CD= PC， ∴S △PCD = PC 2 ， 故PC最大时，S △PCD 取得最大值； 而PC为直径时最大， ∴S △PCD 的最大值S= ×5 2 = 。