Question

（2013年四川泸州2分）如图，点E是矩形ABCD的边CD上一点，把△ADE沿AE对折，点D的对称点F恰好落在BC上，

（2013年四川泸州2分）如图，点E是矩形ABCD的边CD上一点，把△ADE沿AE对折，点D的对称点F恰好落在BC上，已知折痕AE=10 cm，且tan∠EFC= ，那么该矩形的周长为【　　】 A．72cm B．36cm C．20cm D．16cm

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Answer 1

A。

在矩形ABCD中，AB=CD，AD=BC，∠B=∠D=90°， ∵△ADE沿AE对折，点D的对称点F恰好落在BC上，∴∠AFE=∠D=90°，AD=AF。 ∵∠EFC+∠AFB=180°﹣90°=90°，∠BAF+∠AFB=90°，∴∠BAF=∠EFC。 ∵tan∠EFC= ，∴tan∠BAF = 。∴设BF=3x、AB=4x。 在Rt△ABF中，根据勾股定理可得AF=5x，∴AD=BC=5x。∴CF=BC﹣BF=5x﹣3x=2x。 ∵tan∠EFC= ，∴CE=CF?tan∠EFC=2x? = x。∴DE=CD﹣CE=4x﹣ x= x。 在Rt△ADE中，AD 2 +DE 2 =AE 2 ，即（5x） 2 +（ x） 2 =（10 ） 2 ，整理得，x 2 =16，解得x=4。 ∴AB=4×4=16cm，AD=5×4=20cm，矩形的周长=2（16+20）=72cm。故选A。