Question

已知函数f（x）=lnx-x（1）求f（x）的单调区间；（2）若不等式af（x）≥x- 1 2 x 2 在x∈（0

已知函数f（x）=lnx-x（1）求f（x）的单调区间；（2）若不等式af（x）≥x- 1 2 x 2 在x∈（0，+∞）内恒成立，求实数a的取值范围；（3）n∈N + ，求证： 1 ln2 + 1 ln3 +…+ 1 ln(n+1) ＞ n n+1 ．

Answer 1

（1）∵f（x）=lnx-x， ∴f′（x）= 1 x -1= 1-x x ，定义域为（0，+∞）， 令f′（x）＞0，解得0＜x＜1； 令f′（x）＜0，解得x＞1； ∴f（x）的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞）， （2）∵af（x）≥x- 1 2 x 2 在x∈（0，+∞）内恒成立， ∴ 1 2 x 2 +alnx-（a+1）x≥0在x∈（0，+∞）内恒成立， 令g（x）= 1 2 x 2 +alnx-（a+1）x， ∴g′（x）=x+ a x -（a+1）= (x-a)(x-1) x ， ①若a≤0时，当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，则g（x）在（0，1）上单调递减， 当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，则g（x）在（1，+∞）上单调递增， ∴g（x） min =g（1）= 1 2 -（a+1）≥0，解得a≤- 1 2 ，又a≤0，故a≤- 1 2 ， ②若0＜a≤1时，g′（x）=0解得x=a或x=1，列表如下 x （0，a） a （a，1） 1 （1，+∞） g′（x） + 0 - 0 + g（x） 增 极大值 减 极小值 增 又g（1）= 1 2 -（a+1）＜0，故不满足要求 ③若a＞1时，g′（x）=0解得x=a或x=1，列表如下 x （0，1） 1 （1，a） a （a，+∞） g′（x） + 0 - 0 + g（x） 增 极大值 减 极小值 增 同理g（1）= 1 2 -（a+1）＜0，故也不满足要求 综合上述，要使不等式af（x）≥x- 1 2 x 2 在x∈（0，+∞）内恒成立，则实数a的取值范围为（-∞，- 1 2 ]； （ 3）由（ 2）知当a=- 1 2 时，g（x）= 1 2 x 2 - 1 2 lnx- 1 2 x≥0， 即lnx≤x 2 -x（x=1取等号） ∴当x＞1时， 1 lnx ＞ 1 x 2 -x = 1 (x-1)x = 1 x-1 - 1 x 令x=2，3，…n，则有 1 ln2 ＞1- 1 2 ， 1 ln3 ＞ 1 2 - 1 3 ，…， 1 ln(n+1) ＞ 1 n - 1 n+1 ， 相加得 1 ln2 + 1 ln3 +…+ 1 ln(n+1) ＞1- 1 2 + 1 2 - 1 3 +…+ 1 n - 1 n+1 =1- 1 n+1 = n n+1 ．