四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，SO⊥底面ABCD，O在CB上．已知∠ABC=45°，AB=2，BC=22，SA=SB=3
四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，SO⊥底面ABCD，O在CB上．已知∠ABC=45°，AB=2，BC=22，SA=SB=3，（Ⅰ）求证：平面SCB⊥平面A...
四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，SO⊥底面ABCD，O在CB上．已知∠ABC=45°，AB=2，BC=22，SA=SB=3，（Ⅰ）求证：平面SCB⊥平面ABCD；（Ⅱ）求四棱锥S-ABCD的体积；（Ⅲ）求直线SD与平面SAB所成角的正弦值．
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（ I）∵SO?平面SBC，SO⊥底面ABCD，
∴平面SCB⊥平面ABCD．
（II）∵AB=2，SA=SB=
，∴cos∠SBA=
=
，
由三面角余弦公式得：cos∠SBA=cos∠SBO?cos∠ABC，即
=cos∠SBO?cos450?cos∠SBO=
又cos∠SBO=
，
∴OB=SBcos∠SBO=
×
=
又∵BC=2
，
∴O为BC的中点，SO=
∴平面SCB⊥平面ABCD．
（II）∵AB=2，SA=SB=
| 3 |
| 4+3-3 | ||
2×2×
|
| ||
| 3 |
由三面角余弦公式得：cos∠SBA=cos∠SBO?cos∠ABC，即
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
又cos∠SBO=
| OB |
| SB |
∴OB=SBcos∠SBO=
| 3 |
| ||
| 3 |
| 2 |
又∵BC=2
| 2 |
∴O为BC的中点，SO=
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