Question

已知正方形OABC中，O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的正半轴上，点B（4，4）．二次函数y=-16x

已知正方形OABC中，O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的正半轴上，点B（4，4）．二次函数y=-16x2+bx+c的图象经过点A、B．点P（t，0）是x轴上一动点，连接AP．（1）求此二次函数的解析式；（2）如图①，过点P作AP的垂线与线段BC交于点G，当点P在线段OC（点P不与点C、O重合）上运动至何处时，线段GC的长有最大值，求出这个最大值；（3）如图②，过点O作AP的垂线与直线BC交于点D，二次函数y=-16x2+bx+c的图象上是否存在点Q，使得以P、C、Q、D为顶点的四边形是以PC为边的平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵B（4，4），
∴AB=BC=4，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=4，
∴A（0，4），
将点A（0，4），B（4，4）代入y=-

1

6

x²+bx+c得

c=4 - 1 6 ×16+4b+c=4

，
解得

b= 2 3 c=4

．
∴二次函数解析式为y=-

1

6

x²+

2

3

x+4；

（2）∵P（t，0），
∴OP=t，PC=4-t，
∵AP⊥PG，
∴∠APO+∠CPG=180°-90°=90°，
∵∠OAP+∠APO=90°，
∴∠OAP=∠CPG，
又∵∠AOP=∠PCG=90°，
∴△AOP∽△PCG，
∴

AO

PC

=

OP

GC

，
即

4

t

=

4-t

GC

，
整理得，GC=-

1

4

（t-2）²+1，
∴当t=2时，GC有最大值是1，
即P（2，0）时，GC的最大值是1；

（3）存在点Q，使得以P、C、Q、DP、C、Q、DP、C、Q、D为顶点的四边形是以PC为边的平行四边形．
理由如下：如图1、2，易得∠OAP=∠COD，
在△AOP和△OCD中，

∠OAP=∠COD OA=OC ∠AOP=∠OCD=90°

，
∴△AOP≌△OCD（ASA），
∴OP=CD，
由P、C、Q、DP、C、Q、DP、C、Q、D为顶点的四边形是以PC为边的平行四边形得，PC∥DQ且PC=DQ，
∵P（t，0），D（4，t），
∴PC=DQ=|t-4|，
∴点Q的坐标为（t，t）或（8-t，t），
①当Q（t，t）时，-

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