Question

设f（x）=x|x-1|-blnx+m，（b，m∈R）（Ⅰ）当b=3时，判断函数f（x）在[l，+∞）上的单调性；（Ⅱ）记h（

设f（x）=x|x-1|-blnx+m，（b，m∈R）（Ⅰ）当b=3时，判断函数f（x）在[l，+∞）上的单调性；（Ⅱ）记h（x）=f（x）+blnx，当m＞1时，求函数y=h（x）在[0，m]上的最大值；（Ⅲ）当b=1时，若函数f（x）有零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）当b=3时，因为x＞1，则f（x）=x²-x-3lnx+m，
f′（x）=

2x2?x?3

x

=

(2x?3)(x+1)

x

，
当x≥

3

2

时，f′（x）＞0，所以f（x）在[

3

2

，+∞）单调递增
当x∈[1，

3

2

]时，f′（x）＜0，所以f（x）在[1，

3

2

）单调递减
（2）h（x）=f（x）+m，
∴当x∈[0，1]时，h（x）=-（x-

1

2

）²+m+

1

4

，
∴当x=

1

2

时，h（x）_min=m+

1

4

∵h（x）∈在（1，m]单调递增，
∴h（x）_max=m²
由²≥m+

1

4

，
又m＞1，
∴可得m≥

1+ 2

2

，
∴当m≥

1+ 2

2

时，h（x）_max=m²，
当1＜m＜

1+ 2

2

时，h（x）_max=m+

1

4

（3）b=1时，函数f（x）有零点，即x|x-1|-lnx+m=0有解，
即当x∈（0，1]时，g（x）=x²-x+lnx，
∵g′（x）=2x?1+

1

x

≥2

2

-1＞0，
∴g（x）=lnx-x|x-1|，在（0，1]单调递增，
∴g（x）≤g（1）=0
=?

(x?1)(2x+1)

x

＜0，
当x∈（1，+∞）时，g（x）=-x²+x+lnx，
g′（x）=?

(x?1)(2x+1)

x

＜0，
∴g（x）=lnx-x|x-1|，在（1，+∞）单调递减，
∴g（x）＜g（1）=0
∴m=lnx-x|x-1|有解时，实数的取值范围为：m≤0