Question

已知函数f（x）=xe-x．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）当0＜x＜1时f（x）＞f（kx），求实数k

已知函数f（x）=xe-x．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）当0＜x＜1时f（x）＞f（kx），求实数k的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）由题知f'（x）=（1-x）e^-x（x∈R），当f'（x）＞0时，x＜1，当f'（x）＜0时，x＞1，----（3分）
所以函数f（x）的增区间为（-∞，1），减区间为（1，+∞），
其极大值为f(1)＝

1

e

，无极小值．-----------（5分）
（Ⅱ）由题知0＜x＜1，当k≤0时，因为

k

x

≤0＜x＜1，由（1）知函数在（-∞，1）单调递增，
所以f(x)＞f(

k

x

)，符合题意；-------（7分）
当0＜k＜1时，取x=k，可得f（k）＞f（1），这与函数在（-∞，1）单调递增不符；（9分）
当k≥1时，因为

k

x

≥

1

x

＞1，由（1）知函数f（x）=xe^-x在（1，+∞）单调递减，
所以f(

k

x

)≤f(

1

x

)，即只需证f(x)＞f(

1

x

)，即证xe?x＞

1

x

e?

1

x

，
同时取对数得ln（xe^-x）＞ln（

1

x

e?

1

x

），
即lnx+lne^-x＞ln

1

x

+lne?

1

x

，
即lnx?x＞?lnx?

1

x

，2lnx?x+

1

x

＞0，令h(x)＝2lnx?x+

1

x

(0＜x＜1)，
则h′(x)＝

?x2+2x?1

x2

＝?

(x?1)2

x2

＜0对0＜x＜1恒成立，
所以h（x）为（0，1）上的减函数，所以h（x）＞h（1）=0，
所以f(x)＞f(

k

x

)，符合题意．-------（11分）
综上：k∈（-∞，0]∪[1，+∞）为所求．------------（12分）