如图，矩形OABC的边OC，OA分别与x轴，y轴重合，点B的坐标是（3，1），点D是AB边上一个动点（与点A不重合
如图，矩形OABC的边OC，OA分别与x轴，y轴重合，点B的坐标是（3，1），点D是AB边上一个动点（与点A不重合），沿OD将△OAD翻折，点A落在点P处．（1）若点P在...
如图，矩形OABC的边OC，OA分别与x轴，y轴重合，点B的坐标是（3，1），点D是AB边上一个动点（与点A不重合），沿OD将△OAD翻折，点A落在点P处．（1）若点P在一次函数y=2x-1的图象上，求点P的坐标；（2）若点P在抛物线y=ax2图象上，并满足△PCB是等腰三角形，求该抛物线解析式；（3）当线段OD与PC所在直线垂直时，在PC所在直线上作出一点M，使DM+BM最小，并求出这个最小值．
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解答：
解：（1）∵B（
，1）
∴BC=OA=OP=1，OC=
．
∵点P在一次函数y=2x-1的图象上
∴设P（x，2x-1）
如图，过P作PH⊥x轴于H
在Rt△OPH中，PH=2x-1，OH=x，OP=1
∴x2+（2x-1）2=1
解得：x1=
，x2=0（不合题意，舍去）
∴P（
，
）（2分）
（2）连接PB，PC
①若PB=PC，则P在BC中垂线y=
上
∴设P（x，
），如图，过P作PH⊥x轴于H
在Rt△OPH中，PH=
，OH=x，OP=1
∴x2+
=1
解得：x1=
，x2=-
（不合题意，舍去）
∴P（
，
）
∴
=a×
，
得a=
∴y=
x2（2分）
②若BP=BC，则BP=1，连接OB
∵OP=1
∴OP+PB=2
∵在Rt△OBC中，∠OCB=90°，OB=
=2
∴OP+PB=OB
∴O，P，B三点共线，P为线段OB中点．
又∵B（
，1）
∴P（
，
）
∴
=a×
，
解得：a=
∴y=
x2
③若CP=CB，则CP=1
∵OP=1
∴PO=PC，则P在OC中垂线x=
上
∴设P（
，y）．
过P作PH⊥x轴于H，在Rt△OPH中，PH=|y|，OH=
，OP=1
∴y2+
=1
解得：y1=
，y2=-
∴P（
，
）或（
，-
）
当点P（
，-
）时，∠AOP=120°，此时∠AOD=60°，点D与点B重合，符合题意．
若点P（
，
），则
=a×
解：（1）∵B（| 3 |
∴BC=OA=OP=1，OC=
| 3 |
∵点P在一次函数y=2x-1的图象上
∴设P（x，2x-1）
如图，过P作PH⊥x轴于H
在Rt△OPH中，PH=2x-1，OH=x，OP=1
∴x2+（2x-1）2=1
解得：x1=
| 4 |
| 5 |
∴P（
| 4 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
（2）连接PB，PC
①若PB=PC，则P在BC中垂线y=| 1 |
| 2 |
∴设P（x，
| 1 |
| 2 |
在Rt△OPH中，PH=
| 1 |
| 2 |
∴x2+
| 1 |
| 4 |
解得：x1=
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
∴P（
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
得a=
| 2 |
| 3 |
∴y=
| 2 |
| 3 |
②若BP=BC，则BP=1，连接OB
∵OP=1
∴OP+PB=2
∵在Rt△OBC中，∠OCB=90°，OB=
| 3+1 |
∴OP+PB=OB
∴O，P，B三点共线，P为线段OB中点．
又∵B（
| 3 |
∴P（
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
解得：a=
| 2 |
| 3 |
∴y=
| 2 |
| 3 |
③若CP=CB，则CP=1
∵OP=1
∴PO=PC，则P在OC中垂线x=
| ||
| 2 |
∴设P（
| ||
| 2 |
过P作PH⊥x轴于H，在Rt△OPH中，PH=|y|，OH=
| ||
| 2 |
∴y2+
| 3 |
| 4 |
解得：y1=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴P（
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
当点P（
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
若点P（
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
