Question

设函数f（x）连续，且∫x0tf(2x?t)dt＝12arctanx2．已知f（1）=1，求∫21f(x)dx的值

设函数f（x）连续，且∫x0tf(2x?t)dt＝12arctanx2．已知f（1）=1，求∫21f(x)dx的值．

Answer 1

令u=2x-t，则t=2x-u，dt=-du；于是有：

∫

x 0

tf(2x?t)dt=?

∫

x 2x

(2x?u)f(u)du=

∫

2x x

(2x?u)f(u)du
=2x

∫

2x x

f(u)du-

∫

2x x

uf(u)du
即：

∫

x 0

tf(2x?t)dt=2x

∫

2x x

f(u)du-

∫

2x x

uf(u)du
又有：

∫

x 0

tf(2x?t)dt=

1

2

arctanx2；
因此有：2x

∫

2x x

f(u)du-

∫

2x x

uf(u)du=

1

2

arctanx2；
上式两边对x求导得：
2

∫

2x x

f（u）du+2x[2f（2x）-f（x）]-[2xf（2x）?2-xf（x）]=

x

1+x4

整理得：2

∫

2x x

f（u）du=

x

1+x4

+xf（x）；
令x=1得：
2

∫

2 1

f(u)du=

1

1+1

+1?f(x)=

1

2

+f（x）；
又有：f（1）=1；
因此：2

∫

2 1

f(u)du=

1

2

+f（x）=

1

2

+1=

3

2

所以：

∫

2 1

f(u)du=

3

4

；
即：

∫

2 1

f(x)dx=

3

4

．

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示