Question

已知函数f（x）=e x sinx．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）如果对于任意的x∈[0， π 2 ]

已知函数f（x）=e x sinx．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）如果对于任意的x∈[0， π 2 ]，f（x）≥kx总成立，求实数k的取值范围；（3）设函数F（x）=f（x）+e x cosx，x∈[ - 2011π 2 ， 2013π 2 ]．过点M（ π-1 2 ，0 ）作函数F（x）图象的所有切线，令各切点的横坐标构成数列{x n }，求数列{x n }的所有项之和S的值．

Answer 1

（1）由于f（x）=e x sinx．所以 f′（x）=e x sinx+e x cosx= e x (sinx+cosx)= 2 e x sin(x+ π 4 ) ． 当 x+ π 4 ∈(2kπ，2kπ+π) ，即 x∈(2kπ- π 4 ，2kπ+ 3 4 π) 时，f′（x）＞0； 当 x+ π 4 ∈(2kπ+π，2kπ+2π) ，即 x∈(2kπ+ 3 4 π，2kπ+ 7 4 π) 时，f′（x）＜0． 所以f（x）的单调递增区间为 (2kπ- π 4 ，2kπ+ 3 4 π) （k∈Z）， 单调递减区间为 (2kπ+ 3 4 π，2kπ+ 7 4 π) （k∈Z）． （2）令g（x）=f（x）-kx=e x sinx-kx，要使f（x）≥kx总成立，只需在x∈ [0， π 2 ] 时g（x） min ≥0． 对g（x）求导得g′（x）=e x （sinx+cosx）-k， 令h（x）=e x （sinx+cosx），则h′（x）=2e x cosx＞0，（ x∈(0， π 2 ) ） 所以h（x）在在 [0， π 2 ] 上为增函数，所以 h(x)∈[1， e π 2 ] ． 对k分类讨论： ①当k≤1时，g′（x）≥0恒成立，所以g（x）在 [0， π 2 ] 上为增函数，所以g（x） min =g（0）=0， 即g（x）≥0恒成立； ②当 1＜k＜ e π 2 时，g′（x）=0在上有实根x 0 ，因为h（x）在 (0， π 2 ) 上为增函数， 所以当x∈（0，x 0 ）时，g′（x）＜0，所以g（x 0 ）＜g（0）=0，不符合题意； ③当 k≥ e π 2 时，g′（x）≤0恒成立，所以g（x）在 (0， π 2 ) 上为减函数， 则g（x）＜g（0）=0，不符合题意． 综合①②③可得，所求的实数k的取值范围是（-∞，1]． （3）因为F（x）=f（x）+e x cosx=e x （sinx+cosx），所以F′（x）=2e x cosx， 设切点坐标为 ( x 0 ， e x 0 (sin x 0 +cos x 0 )) ，则斜率为 f ′ ( x 0 )=2 e x 0 cos x 0 ， 切线方程为 y- e x 0 (sin x 0 +cos x 0 )=2 e x 0 cos x 0 (x- x 0 ) ， 将 M( π-1 2 ，0) 的坐标代入切线方程，得 - e x 0 (sin x 0 +cos x 0 )=2 e x 0 cos x 0 ( π-1 2 - x 0 ) -tan x 0 -1=-2( x 0 - π-1 2 ) ，即 tan x 0 =2( x 0 - π 2 ) ， 令y 1 =tanx， y 2 =2(x- π 2 ) ，则这两个函数的图象均关于点 ( π 2 ，0) 对称， 它们交点的横坐标也关于 π 2 对称成对出现， 方程 tanx=2(x- π 2 ) x∈ [- 2011π 2 ， 2013π 2 ] 的根， 即所作的所有切线的切点横坐标构成的数列{x n }的项也关于 π 2 对称成对出现， 在 [- 2011π 2 ， 2013π 2 ] 内共构成1006对，每对的和为π， 因此数列{x n }的所有项的和S=1006π．